ระบบสัญญลักษณ์ที่เขียนขึ้นและวัสดุที่เป็นรูปธรรม 
เด็กๆ เยาว์วัยส่วนใหญ่ซึ่งพบความยุ่งยากกับคณิตศาสตร์พื้นฐาน ตามความเป็นจริง แล้ว มักจะนำความเข้าใจพื้นฐานที่แข็งแกร่งด้านคณิตศาสตร์ที่ไม่เป็นทางการ นัก ติดตัวมาที่โรงเรียนด้วย พวกเขาเผชิญความลำบากในการเชื่อมโยงพื้นความรู้ นี้กับความเป็นทางการมากขึ้นของกระบวนการ ภาษาและระบบความคิดที่เป็นสัญญลักษณ์ของคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน การปะทะกัน ระหว่างทักษะที่ไม่เป็นทางการของพวกเขากับคณิตศาสตร์ที่โรงเรียนเป็นเหมือน กับเด็กที่รู้จักท่วงทำนองและจังหวะกำลังมีประสบการณ์กับดนตรีที่ถูกเขียน ขึ้นที่แตกต่างจากสิ่งที่พวกเขาสามารถทำได้แล้ว ความจริงแล้ว มันเป็นเรื่องดีที่ค่อนข้างซับซ้อนที่จะกำหนดสัญญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ที่ เขียนขึ้นในโลกใหม่แทนที่โลกที่รู้จักแล้วทางด้านปริมาณ การมีปฏิสัมพันธ์ กันของตัวเลข และขณะเดียวกันต้องเรียนรู้ภาษาที่แปลกๆ ที่เราใช้คุยกันเกี่ยวกับเลขคณิต นักเรียนต้องการประสบการณ์มากๆ ที่ซ้ำๆ กันและวัสดุที่เป็นรูปธรรมที่หลากหลายเพื่อทำให้ความเชื่อมโยงนี้แข็งแรงและ มั่นคง บ่อยที่เดียวที่ครูสร้างความยุ่งยากที่ขั้นตอนการเรียนรู้นี้โดยการ ขอให้นักเรียนจับคู่รูปภาพกับตัวเลขก่อนที่พวกเขาจะมีประสบการณ์เพียงพอใน การเชื่อมโยงความแตกต่างของสิ่งที่เป็นตัวแทนที่จับต้องได้กับวิธีการหลาก หลายที่เราร้อยเรียงสัญญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์เข้าด้วยกัน และวิธีต่างๆ ที่เรากล่าวถึงสิ่งเหล่านี้เป็นคำพูด ความจริงที่ว่าวัสดุที่เป็นรูปธรรม สามารถถูกจับ ถูกเคลื่อนที และถูกจับกลุ่มหรือแยกออกทำให้มันเป็นเครื่องมือการสอนที่ชัดเจนมากขึ้นกว่า การ
ทดแทนด้วยรูปภาพ เพราะว่ารูปภาพเป็นสัญญลักษณ์แบบนามธรรมที่ไม่สมบูรณ์
ถ้า นำมาใช้เร็วเกินไป จะทำให้เด็กสับสนในการเชื่อมโยงที่ละเอียดอ่อนระหว่างความคิดรวบยอดที่เกิด ขึ้น ภาษาทางคณิตศาสตร์ใหม่ และความเป็นทางการของปัญหา
ตัวเลขที่ถูกเขียนขึ้น
ด้วย เหตุนี้ มันจึงเป็นเรื่องสำคัญที่ควรจดจำว่า วัสดุที่เป็นรูปธรรมจะมีประโยชน์ที่ขั้นตอนการพัฒนาความคิดรวบยอดสำหรับ วิชาคณิตศาสตร์ในทุกระดับชั้น มีหลักฐานทางการวิจัยว่า ตามความเป็นจริงแล้วนักเรียนที่ใช้วัสดุที่เป็น รูปธรรมมักพัฒนาสิ่งที่ทดแทนตัวเลขเป็นความเข้าใจได้ถี่ถ้วนมากกว่า และมัก แสดงแรงกระตุ้นและพฤติกรรมการทำโจทย์ทางคณิตศาสตร์ที่ดีกว่า และอาจเข้าใจ ความคิดทางคณิตศาสตร์ซึ่งนำไปใช้ในสถานการณ์ในชีวิตได้ดีกว่า วัสดุที่เป็น รูปธรรมได้ถูกใช้อย่างได้ประโยชน์เพื่อพัฒนาความคิดรวบยอด และเพื่อทำให้ ความเกี่ยวพันของตัวเลขแรกๆ ชัดเจนขึ้น รวมทั้งตำแหน่งของตัวเลข การคำนวณ เศษส่วน ทศนิยม การ วัด เรขาคณิต เงิน จำนวนเปอร์เซ็นต์ ปัญหาเรื่องราวตัวเลข ความเป็นไป ได้ และสถิติ และแม้แต่พีชคณิต
 
แน่ นอน วัสดุที่เป็นรูปธรรมที่แตกต่างชนิดเหมาะกับวัถุประสงค์การสอนที่แตก ต่างกัน วัสดุไม่ได้สอนโดยตัวของมันเอง มันไปได้ดีกับการให้คำสอนของครู และปฏิกิริยาของนักเรียนร่วมกับการสาธิตและคำอธิบายที่ทำซ้ำโดยทั้งครูและ นักเรียน
 
ภาษาคณิตศาสตร์
นัก เรียนแอลดีบางคนถูกขัดขวางเป็นพิเศษโดยแง่มุมของภาษาทางคณิตศาสตร์ มีผลให้ เกิดความสับสนเกี่ยวกับคำศัพท์ เกิดความยุ่งยากที่จะอธิบายคำ ศัพท์ และ/หรือมีทักษะคำศัพท์ที่อ่อนแอที่จะตรวจสอบขั้นตอนการคำนวณที่ซับ ซ้อน ครูสามารถช่วยเหลือโดยการลดอัตราความเร็วในการส่งข้อมูลให้ช้า ลง รักษาจังหวะของวลีให้เป็นปกติ และให้ข้อมูลในลักษณะแยกๆ กัน ไม่ต่อเนื่อง การให้ข้อมูลคำศัพท์แบบช้าลงเช่นนั้นเป็นเรื่องสำคัญเมื่อถาม คำถาม ให้คำแนะนำ การนำเสนอความคิดรวบยอดและในการอธิบายความ
 
ที่ สำคัญเท่ากันคือ การขอร้องบ่อยๆ ให้นักเรียนใช้คำศัพท์บรรยายสิ่งที่พวกเขากำลังกระทำ ที่เป็นเสมอคือ เวลาของคณิตศาสตร์ไม่เต็มไปด้วยการอธิบายของครูก็เต็มไปด้วยการทำแบบฝึกหัด อย่างเงียบๆ นักเรียนที่มีความสับสนเรื่องภาษาจำเป็นต้องสาธิตด้วยวัสดุที่ เป็นรูปธรรมและอธิบายสิ่งที่พวกเขากำลังทำในทุกช่วงอายุ และทุกระดับของการ ทำงานคณิตศาสตร์ ไม่เพียงแต่ในระดับชั้นเรียนแรกเริ่มเท่านั้น การให้นัก เรียนเล่นเป็นครูอย่างสม่ำเสมอ ไม่เพียงแต่เป็นที่สนุกสนานเท่านั้นแต่เป็นเรื่องจำเป็นสำหรับการเรียนรู้ ความซับซ้อนทางด้านภาษาของคณิตศาสตร์ด้วยเหมือนกัน เราจะเข้าใจเด็กๆ ทั้งหลายได้สมบูรณ์มากขึ้นเมื่อพวกเขาต้องทำการอธิบายอย่างละเอียด หรือทำ การปกป้องสถานภาพของตัวเองต่อคนอื่น บ่อยทีเดียวภาระของการจำเป็นต้อง อธิบายเป็นเหมือนแรงผลักดันพิเศษที่ทำให้เขาเชื่อมต่อและผสมผสานความรู้ของ เขาซึ่งเป็นระยะสำคัญยิ่ง
 
โดย ทั่วๆ ไปแล้ว เด็กๆ ที่บกพร่องทางภาษาจะมีปฏิกิริยาตอบโต้ต่อปัญหาทางคณิตศาสตร์บนกระดาษเหมือน เป็นสัญญาณที่จะลงมือทำบางสิ่งมากกว่าจะเป็นประโยคที่มีความหมายซึ่งจำเป็น จะต้องถูกอ่านเพื่อความเข้าใจ มันราวกับว่าพวกเขาหลีกเลี่ยงการใช้คำศัพท์ เป็นการเฉพาะทีเดียว ทั้งนักเรียนรุ่นเยาว์และรุ่นแก่กว่าจำเป็นจะต้อง พัฒนานิสัยของการอ่านหรือการเอ่ยปัญหาก่อนและ/หรือหลังการคำนวณปัญหา นั้น โดยการเข้าร่วมขั้นตอนง่ายๆ ของการใช้คำศัพท์บรรยายด้วยตนเอง พวกเขาสามารถตรวจสอบข้อผิดพลาดที่ตั้งใจ และไม่ได้ตั้งใจได้มากขึ้น เพราะฉะนั้น ครูควรจะสนับสนุนนักเรียนดังนี้

• หยุดพักหลังคำตอบแต่ละคำตอบ
• อ่านปัญหาและคำตอบดังๆ และ
• ฟังตัวเองและถามว่า “นั่นมันสมเหตุสมผลไหม”

สำหรับ เด็กๆ เยาว์วัยที่มีจุดอ่อนเรื่องภาษา นี่อาจจะใช้ครูเป็นแบบอย่างซ้ำๆ การเตือนให้อดทน และฝึกฝนเยอะๆ โดยใช้การ์ดคอยเตือนเรื่องการมองเห็น
 
แง่มุมการมองเห็นว่างๆ ของคณิตศาสตร์
นัก เรียนแอลดีจำนวนไม่มากนักที่ถูกรบกวนด้วยการจัดระบบของกล้ามเนื้อการมองเห็น ที่ว่างเปล่า (บางครั้งผู้ที่เป็นแอลดีอาจมองไม่เห็นตัวอักษรที่ปรากฎบน กระดาษ แต่กลับมองเห็นตัวอักษรลอยไปมาหรือเห็นแต่ความว่างเปล่าแทน-ผู้แปล) ซึ่งอาจมีผลต่อการขาดความเข้าใจในความคิดรวบยอด มีการรับรู้เรื่องตัวเลขที่แย่มาก มีความยุ่งยากโดยเฉพาะกับการทดแทนด้วย รูปภาพและ/หรือมีลายมือที่ควบคุมการเขียนได้แย่มาก และยังมีการเรียบเรียง ที่สับสนเกี่ยวกับตัวเลขและสัญญลักษณ์บนหน้ากระดาษ นักเรียนที่มีความเข้า ใจด้านความคิดรวบยอดบกพร่องอย่างรุนแรงมักจะมีข้อบกพร่องด้านกล้ามเนื้อการ รับรู้อย่างมากและคาดคะเนได้ว่าจะมีสมรรถนะที่ผิดปกติไปแน่นอน
 
กลุ่ม ย่อยเล็กๆ นี้อาจต้องการการเน้นหนักอย่างมากทีเดียวในเรื่องการอธิบายคำศัพท์ที่ชัดเจน และถี่ถ้วน ดูเหมือนว่าพวกเขาจะได้รับประโยชน์จากการแทนที่ด้วยการสร้างคำ ศัพท์สำหรับความเข้าใจที่พวกเขาขาดไป ตัวอย่างของรูปภาพหรือการอธิบายแผน ภาพสามารถทำให้พวกเขาสับสนอย่างยิ่ง ดังนั้นจึงไม่ควรใช้เมื่อพยายามจะสอน หรือทำให้ความคิดรวบยอดชัดเจน ความจริงแล้ว กลุ่มย่อยนี้ต้องการการเยียว ยารักษาเป็นการเฉพาะในเรื่องของการตีความรูปภาพ แผนภาพ และการอ่านกราฟ และสัญญาณเตือนทางสังคมที่ไม่เป็นคำพูด เพื่อพัฒนาความ เข้าใจเรื่องความคิดรวบยอดทางด้านคณิตศาสตร์ มันอาจเป็นประโยชน์ที่จะใช้ วัสดุการสอนที่เป็นรูปธรรมซ้ำๆ (เช่น บล็อก หรือ ท่อนไม้) ด้วยการเอาใจใส่อย่างจริงจังต่อการพัฒนาการใช้คำศัพท์อย่างคงที่ของแต่ละ จำนวนปริมาณ (เช่น 5) ของความสัมพันธ์ (เช่น 5 น้อยกว่า 7) และของการปฏิสัมพันธ์ (เช่น 5+2 = 7) เพราะการเข้าใจความสัมพันธ์ของตัวเลขและการจัดตั้งตัวเลขในโจทย์เป็น เรื่องยากสำหรับนักเรียนเหล่านี้ มันเป็นเรื่องสำคัญที่จะอาศัยการสร้างคำ ศัพท์จากประสพการณ์ที่ซ้ำๆ กันด้วยวัสดุที่ซึ่งสามารถรู้สึกได้หรือเห็นได้ และเคลื่อนที่ไปรอบๆ ขณะที่พวกเขาถูกพูดถึงอยู่ ตัวอย่างเช่น พวกเขาอาจสามารถทำได้ดีกว่าที่จะ เรียนรู้การระบุสามเหลี่ยมโดยการถือบล็อกรูปสามเหลี่ยมและเอ่ยกับตัวพวกเขา เองว่า “สามเหลี่ยมมีสามด้าน เมื่อเราวาดมัน มันมีเส้นสามเส้นเชื่อมกัน” เป็นตัวอย่างเช่นว่า นักศึกษาใหม่ของวิทยาลัยซึ่งมีข้อบกพร่องนี้จะไม่สามารถ “เห็น” สามเหลี่ยมเป็นอย่างไร โดยไม่พูดกับตัวเองเมื่อเขามองที่รูปร่างที่แตกต่างไปหรือพยายามที่จะวาด รูปสามเหลี่ยม
 
เป้า หมายสำหรับนักเรียนเหล่านี้คือ การสร้างรูปแบบคำศัพท์ที่แข็งแรงสำหรับจำนวนปริมาณและความสัมพันธ์ของมันแทน ที่การแสดงออกของจิตใจที่มองไม่เห็นว่างเปล่าซึ่งคนส่วนใหญ่พัฒนา การสร้าง คำศัพท์อธิบายที่คงที่จำเป็นด้วยเหมือนกันที่จะต้องสร้างขึ้นอย่างแน่นหนา เมื่อพิจารณาถึงเมื่อใดที่ต้องนำไปใช้กับกระบวนการทางคณิตศาสตร์และวิธีที่ จะทำให้ขั้นตอนการคำนวณตามหลักการสำเร็จลุล่วง ความอดทนอย่างยิ่งใหญ่และการใช้คำศัพท์ซ้ำๆ เป็นที่ต้องการเพื่อจะทำให้ขั้นตอนเพิ่มขึ้นทีละน้อย
 
มัน เป็นเรื่องสำคัญที่ควรจดจำว่าเด็กเยาว์วัยที่ฉลาดโดยเฉลี่ย หรือแม้แต่ฉลาด มากๆ สามารถจะมีความบกพร่องทางการจัดระบบการมองเห็นที่ว่างเปล่าซึ่งทำให้การ พัฒนาความคิดรวบยอดทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายๆ ยากขึ้นอย่างล้นเหลือ เมื่อความบก-พร่องเช่นนั้นตามติดมาด้วยทักษะการใช้คำศัพท์ที่เข้มแข็ง ทำ ให้มีแนวโน้มที่จะสงสัยในผลที่เกิดจากความบกพร่องนั้น ดังนั้น คุณพ่อคุณแม่ และคุณครูสามารถใช้เวลาเป็นปีๆ แผดเสียงว่า “เขาไม่ได้พยายามเลย…เขาไม่ได้ให้ความใส่ใจ…เขาต้องเป็นโรคกลัวคณิตศาสตร์ …บางทีมันอาจเป็นปัญหาทางอารมณ์” เพราะว่าจุดอ่อนอื่นๆ ที่ติดตามมาด้วย ตามปกติแล้วจะรวมถึงการรับรู้ของร่างกายที่แย่ในเรื่องที่ ว่าง ความยุ่งยากในการอ่านสัญญาณทางสังคมของท่าทางและใบหน้าที่ไม่เป็นคำพูด และ บ่อยทีเดียวการไม่จัดระบบที่เป็นฝันร้ายในโลกของ “สิ่งต่างๆ” มันง่ายมากที่จะเข้าใจปัญหาผิดเพราะอาการทางอารมณ์หลายๆ อาการที่รวมตัวกัน การอ่านปัญหาผิดอย่างนี้ทำให้งานที่เหมาะสมที่ต้องการ ทั้งในด้านคณิตศาสตร์และด้านอื่นๆ ล่าช้าลง
 
สรุป
ความ ยุ่งยากในการเรียนรู้คณิตศาสตร์เป็นเรื่องธรรมดา ที่มีความสำคัญและมีคุณ ค่าต่อการเอาใจใส่ในการสอนที่เข้มงวดทั้งในชั้นเรียนการศึกษาพิเศษและการ ศึกษาปกติ นักเรียนอาจโต้ตอบต่อความล้มเหลวที่เกิดขึ้นซ้ำๆ ด้วยการละเลิกความพยายาม ภาคภูมิใจในตนเองต่ำลงและมีพฤติกรรมหลีก เลี่ยง นอกจากนี้ การบกพร่องทางคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้งทำให้มีผลตามมาที่ ร้ายแรงในการจัดการกับชีวิตประจำวันเช่นเดียวกับอนาคตในการทำงาน และการได้รับการส่งเสริม
 
ช่วง ของปัญหาการเรียนรู้ทางคณิตศาสตร์มีตั้งแต่ระดับอ่อนจนถึงขั้นรุนแรง และ แสดงออกในวิถีทางที่ต่างกัน ที่ธรรมดาที่สุดคือ ความยุ่งยากในการเรียกความจำที่มีประสิทธิภาพของความเป็นจริงทางเลขคณิตพื้น ฐานและมีความไว้วางใจได้ในการคำนวณเมื่อปัญหาเหล่านี้ตามติดมาด้วยการจับ ความคิดรวบยอดที่แข้มแข็งของคณิตศาสตร์และความเกี่ยวพันกับที่ว่าง มัน สำคัญมากที่จะไม่ทำให้นักเรียนหยุดชะงักโดยการพุ่งเป้าไปที่การคำนวณที่พอจะ เยียวยาได้เท่านั้น ขณะที่มันสำคัญที่จะดำเนินต่อไป ความพยายามเช่นนั้น ไม่ควรจะปฏิเสธการศึกษาคณิตศาสตร์อย่างเต็มรูปแบบสำหรับนักเรียนที่มีความ สามารถแต่บกพร่อง
 
ความ บกพร่องทางภาษาแม้จะไม่มากสามารถจะรบกวนการเรียนรู้ทางคณิตศาสตร์ โดยเฉพาะ อย่างยิ่ง นักเรียนแอลดีส่วนมากมีแนวโน้มที่จะหลีกเลี่ยงการใช้คำศัพท์ใน กิจกรรมทางคณิตศาสตร์ บ่อยทีเดียวที่แนวโน้มรุนแรงยิ่งขึ้นโดยวิถีทางที่ สอนคณิตศาสตร์ตามแบบฉบับในอเมริกา การพัฒนานิสัยของพวกเขาในการใช้คำศัพท์ บรรยายกระบวนการหรือตัวอย่างทางคณิตศาสตร์สามารถจะช่วยเหลือได้อย่างมากใน การเอาอุปสรรคออกไปเพื่อความสำเร็จในการเรียนการสอนคณิตศาสตร์
 
เด็กๆ ส่วนใหญ่มีประสบการณ์ความยุ่งยากในการเชื่อมความรู้ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่เป็น ทางการกับคณิตศาสตร์ในโรงเรียนที่เป็นทางการ การที่จะสร้างการเชื่อมต่อนี้ ต้องใช้เวลา ประสบการณ์ และการสอนที่ให้คำแนะนำอย่างระมัดระวัง การใช้วัสดุที่เป็นรูปธรรมเป็นเรื่องสำคัญที่จะให้หลักประกันการเชื่อมต่อ นี้ ไม่เพียงแต่ระดับประถมต้นเท่านั้น แต่รวมถึงช่วงขั้นตอนการพัฒนาความ คิดรวบยอดของคณิตศาสตร์ในระดับสูงด้วย นักเรียนบางคนต้องการเน้นหนักเป็น การเฉพาะในเรื่องการถอดความระหว่างรูปแบบการเขียนที่แตกต่าง วิธีต่างๆ ในการอ่าน และการใช้สิ่งทดแทนต่างๆ (ด้วยวัตถุ หรือภาพวาด) ของสิ่งที่พวกเขาสื่อความหมาย
 
การ พิการอย่างเหลือล้น ถึงแม้จะเป็นความบกพร่องทางคณิตศาสตร์อย่างไม่ธรรมดา มีผลจากการไม่จัดระบบของกล้ามเนื้อสายตากับที่ว่าง รูปแบบของความคิดรวบยอด ด้านคณิตศาสตร์พื้นฐานบกพร่องในกลุ่มนักเรียนกลุ่มย่อยเล็กๆ นี้ วิธีที่จะชดเชยรวมไปถึงการหลีกเลี่ยงการใช้รูปภาพและกราฟฟิคสำหรับสื่อ ความคิดรวบยอด การสร้างชุดคำศัพท์ของความคิดทางคณิตศาสตร์ และการใช้วัสดุ ที่เป็นรูปธรรมเป็นอุปกรณ์ ปัญหาในการจัดระบบและทางสังคมซึ่งติดตามความ บกพร่องทางคณิตศาสตร์นี้ต้องการการเอาใจใส่ที่เยียวยาได้เหมาะสมในระยะยาว เพื่อที่จะสนับสนุนการปรับชีวิตให้ประสบความสำเร็จในวัยผู้ใหญ่